Что такое головоломки

Что такое головоломкиЧто такое головоломки

Первый дошедший до нас учебник математики, точнее, его кусок длиною более пяти метров, известный в литературе как «лондонский папирус», или «папирус Райнда» (по имени обнаружившего его англичанина, который подарил свиток Британскому музею), а также как «папирус Ахмеса» (по имени его писца, жившего на рубеже XVII в. до н. э.), содержит 84 сопровождаемые решениями задачи. По этому учебнику велись замятия в школе государственных писцов. Уже древние египтяне понимали, сколь важную роль в процессе обучения играет элемент заннмательностн, и среди включенных в «папирус Ахмеса> задач было немало таких, которые подошли бы и для настоящего сборника. Так, в течение тысячелетий (!) из одного сборника математических головоломок в другой кочует «задача о кошках» из этого папируса (в каждом из 7 домов живет но 7 кошек; каждая кошка съела по 7 мышей; каждая мышь съела по 7 колосьев; из каждого колоса могло получиться 7 мер хлеба —так сколько всего предметов мы перечислили?); иными словами, первый известный нам учебник математики был «россыпью головоломок».

Вообще-то только древние греки (и в первую очередь злосчастный Евклид) на горе детей многих поколений ввели привычную систему обучения математике — с длинным рядом определений и теорем, образующих непрерывную цепочку, которую надо постигать и запоминать звено за звеном.

Прежде все было не так: мы располагаем сотнями клинописных «математических табличек» учебного характера, составленных древними вавилонянами,— это тоже в своем роде «россыпи головоломок». Прежде было не так—но и потом тоже не всегда было так: высочайший уровень строгости, отточенная логическая дедукция древних греков в чем-то явились даже препятствием на пути дальнейшего прогресса математической науки. Греки глубоко развили знания, полученные ими от египтян и вавилонян, которым свойственная грекам скрупулезность в выводах была чуждой; Однако для решительного прыжка вперед надо отойти назад: на уровне строгости греков математический анализ был обоснован лишь в XIX в., построения же Лейбница и Ньютона греков никак бы не удовлетворили — но ведь создать анализ сразу на уровне строгости Карла Вейерштрасса (1815—1897) было явно невозможно! И вот, на закате греческой цивилизации мы видим гениального Диофанта Александрийского \ который, возвратясь к вавилонской и египетской традиции, начал набирать новые факты. Его не волновало приведение их в строгую систему; и «Арифметика» Диофанта — это снова «россыпь головоломок» (притом весьма трудных).

«Россыпями головоломок» были все пособия по математике в древней Индии и древнем Китае; такой же характер носило большинство трудов, созданных в русле арабской культуры.

Самым знаменитым произведением средневековой математики была книга «Liber abaci» (1228) итальянского купца Леонардо из Пизы, известного как Леонардо Фибоначчи. По этой замечательной «россыпи головоломок» в Европе учили математику в течение столетий (наибольшую популярность из головоломок Леонардо приобрела «задача о размножающихся кроликах», послужившая основой важной теории рекуррентных, или возвратных, последовательностей2). Да и что иное, кроме «россыпи головоломок», мог предложить своим читателям Леонардо: происхождение его книги тесно связано с «математическими турнирами», которыми увлекался обласкавший Фибоначчи чудаковатый (как считали тогда) или, напротив, мудрый и во многом обогнавший свое время (как думаем мы сегодня) император «священной римской империи германской нации» и король легкомысленного (точнее — ренессансного) Неаполитанского королевства Фридрих II Гогеишта-уффен. (Традиция «математических турниров» получила дальнейшее развитие в Италии периода «высокого Возрождения» и имела большое значение для достигнутого в этот период прогресса математики.) В XVI—XVII вв. сборники математических головоломок уже не рассмат-ривались как учебники, но отношение к ним было достаточно серьезным, и ни один труд по истории математики не обойдет вниманием сборник «Приятных и занимательных задач» сира Баше де Мезирака (Лион, 1612 г.), сыгравший большую роль в создании и развитии теории чисел.

Однако мы живем после Евклида и Архимеда и не имеем права и возможности игнорировать древнегреческий опыт. В школе мы ныне учимся по составленным под руководством акад. А. Н. Колмогорова пособиям, которые по систематичности и уровню строгости не уступают «Началам» Евклида. Но это в школе, вне школы все мы — и бывшие ученики, и ученики нынешние — имеем полное право пренебречь Евклидом и обратиться к писцу Ахмесу и сиру Баше, другими словами, обратиться к «приятным и занимательным» головоломкам, думать над которыми можно и в часы досуга и которые, право же, учат не так уж малому.

Предлагаемый читателю сборник головоломок составлен американским писателем и любителем математики Стивеном Барром. В США он вышел в свет в виде трех отдельных книг, имевших значительный читательский успех,— возможно, даже больший, чем успех чисто беллетристических произведений Барра. К математике Барр обратился довольно поздно, заинтересовавшись задачами моделирования сложных поверхностей, обсуждаемыми в последней части настоящей книги. Его интерес стимулировали внимание и поддержка такого корифея занимательной математики, как хорошо известный нашим читателям Мартин Гарднер.

Успех книг Барра в определенной мере связан с их современностью, с тем, что они несут на себе достаточно явственную печать нашего времени. «Приятные и занимательные задачи» Баше были, в первую очередь, связаны с целыми числами, ибо развитие теории чисел являлось в тот период насущной задачей математической науки. Головоломки Баше еще, разумеется, теорией чисел не являлись; но настраивали читателя на определенный лад, чем заметно способствовали прогрессу теории чисел как области математической науки.

Сегодня в математике на одно из первых мест выходит топология, заметно потеснившая свою «старшую сестру»— геометрию. Несколько даже неожиданный расцвет топологии является одной из характернейших примет современной науки. Надо сразу же сказать, что на самом деле «топологические эксперименты» Барра, как правило, даже к топологии-то не относятся — постановки задач здесь зачастую «выходят» из топологии и «приходят» к геометрии. Однако задачи эти, безусловно, могут способствовать пробуждению как интереса к топологии, так и некоторой топологической интуиции — и в этом заключается их смысл и интерес.

Еще одним достоинством книги Барра является ее полнейшая несистематичность: все задачи в ней независимы. Взяв с собой эту книгу, скажем, в дорогу, вы можете выбрать себе из нее в пути «изюминку» по вкусу. Но вы никогда не ощутите истинного вкуса изюминки, если ее разжуют за вас другие,— и над головоломками Барра надо думать самостоятельно, обращаясь к включенным в книгу решениям лишь после того, как найдете собственное, или если уж очень долго будете биться над задачей (но и в последнем случае ваши размышления не пройдут без пользы).

Итак, желаю вам успеха.

И. Яглом

' Кстати, все дошедшие до нас биографические сведения о Диофанте заимствованы из стихотворной задачи «Сколько жил Диофант?», включенной в одну из позднегреческих «россыпей головоломок».
2 См., например, Воробьев Н. Н. Числа Фибоначчи. — М.: Наука, 1969, или Маркушевич А. И. Возвратные последовательности.-— М.: Наука, 1975.